هل العبارة الآتية صائبة أم خاطئة المدى لدالة الصحيح f(x)=[x]+5 هو { y∣y⩾ 5 , y ∈ z } صواب أم خطأ ؟
العبارة المدى لدالة الصحيح f(x)=[x]+5 هو { y∣y⩾ 5 , y ∈ z } هي عبارة خاطئة (❌) أي خطأ.
شرح المسألة خطوة بخطوة حتى يتضح سبب خطأ العبارة.
أولًا : نفهم الدالة
لدينا الدالة : f(x)=[x]+5
حيث إن الرمز [x] يمثل دالة أكبر عدد صحيح، أي أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي x .
أمثلة على ذلك :
[2.7]=2
[3\]=3
[−1.3]=−2
لاحظ أن دالة أكبر عدد صحيح يمكن أن تعطي أعدادًا صحيحة موجبة أو سالبة أو صفر .
ثانيًا: نفهم العبارة المطلوب الحكم عليها
العبارة تقول إن المدى هو :
{y∣y≥5, y∈Z}
وهذا يعني أن المدى يتكون من الأعداد الصحيحة الأكبر من أو المساوية لـ 5 وهي :
{5,6,7,8,9,…}
إذن العبارة تستبعد الأعداد الصحيحة الأقل من 5 ، مثل 4 و3 و0 و−1.
فهل هذا صحيح؟ لنختبر الدالة.
ثالثًا : نحسب بعض قيم الدالة
نعوّض بقيم مختلفة لـ x في الدالة
f(x)=[x]+5
| x | [x] | f(x)=[x]+5 |
| 0 | 0 | 5 |
| 1 | 1 | 6 |
| 2 | 2 | 7 |
| - 1 | -1 | 4 |
| - 2 | -2 | 3 |
| - 5 | -5 | 0 |
| - 6 | -6 | 1 |
نلاحظ أن الدالة تعطي قيمًا صحيحة أقل من 5، مثل 4 و3 و0 و−1.
إذن العبارة خاطئة؛ لأن المدى ليس محصورًا في الأعداد الصحيحة التي تساوي 5 أو تزيد عليها.
رابعا : كيف نحدد المدى الصحيح؟
نعلم أن : f(x)=[x]+5
دالة أكبر عدد صحيح [x] تستطيع أن تأخذ أي عدد صحيح، مثل : …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…
وعندما نضيف 5 إلى هذه الأعداد، نحصل على: …,2,3,4,5,6,7,8,…
إذن لا نفقد أي عدد صحيح؛ لأن إضافة 5 إلى جميع الأعداد الصحيحة تنقل القيم بمقدار 5 لكنها تبقي مجموعة النتائج هي مجموعة الأعداد الصحيحة كلها.
بالتالي فإن المدى الصحيح هو : {Z}
أي مجموعة الأعداد الصحيحة كلها.
كيفية حل المسألة في الواجب أو الاختبار؟
الحكم: خطأ.
التعليل: لأن مدى الدالة f(x)=[x]+5 هو مجموعة الأعداد الصحيحة كلها Z وليس مجموعة الأعداد الصحيحة الأكبر من أو المساوية لـ 5. فمثلًا عند x=−1 نحصل على : f(−1)=−1+5=4
والعدد 4 أقل من 5 مما يثبت خطأ العبارة.