لتقم بالبحث عن النظام الدولى للوحدات مبينا الكميات المقدارية والمتجهه مع الرسم
النظام الدولي للوحدات
الكميات المقدارية والمتجهة
جمع المتجهات
النظام الدولى للوحدات
طرح المتجهات
تم استعمال عدة أنظمة للوحدات للتعبير عن الكميات المقاسة. ففي النظام البريطاني للوحدات تم استعمال القدم (ft) (foot) لقياس الطول. وفي النظام الكاوسي (Gaussian system) أو (نظام - cgs) تم استعمال السنتمتر (cm) لقياس الطول والغرام (2) لقياس الكتلة والثانية (5) لقياس الزمن وفي عام (1960) في مؤتمر دولي أقرت مجموعة معايير وهي الطول الكتلة الزمن وكميات أساسية أخرى ، قسمي بالنظام الدولي للوحدات (SI units) ويشمل سبعة وحدات أساسية وهي وحدة الطول متر (m) وحدة الكتلة كيلوغرام (kg)، وحدة الزمن ثانية (5) وحدة التيار الكهربائي أمبير (A)، وحدة درجة الحرارة كلفن (K)، وحدة كمية المادة مول (mol) وحدة شدة (قوة) الاضاءة شمعة (cd). والجدول (42) والذي يبين وحدات الكميات الفيزيائية الاساسية في النظام الدولي للوحدات (SI).
أن هناك كميات فيزيائية أخرى يمكن اشتقاقها من الكميات الفيزيائية الاساسية فمثلاً يمكن إيجاد الانطلاق من معرفة المسافة بوحدة (m) مقسومة على الزمن بوحدة(s) أي طول مقسوم على الزمن (m/s)
وان للنظام الدولي للوحدات (SI) صفة مميزة وهامة كونه نظام عشري فمثلاً (10 -3) تمثل ملليمتر (mm)، و (10 3) تمثل كيلومتر (km) و (10 -6) تمثل مايكرومتر، وبذلك فان (4ميكرو ) تعني (10 6×4) وهكذا.
جدول 2-4
الجدول 2-5 يبين اجزاء ومضاعفات (بادئات النظام الدولي للوحدات)
4-2 الكميات المقدارية والمتجهة
عادة عند قياسك لكمية ما فأنك تعبر عن النتيجة بدلالة عدد ما فلو سئلت ما هو طولك؟ فجوابك سيكون مثلاً (170) أي أن مقدار طولك هو (170) ووحدة القياس هذا هي السنتمتر (cm). وكذلك بالنسبة للكميات الأخرى مثل حجم صندوق أو عدد حبات الحلوى في أناء زجاجي ، حيث لا ترتبط بأي اتجاه ، فتسمى بالكميات المقدارية (Scalar quantities)، فماذا يقصد بالكميات المقدارية؟ هي تلك الكميات التي يلزم المعرفتها وتحديدها تحديداً تاماً معرفة مقدارها فقط مثل الكتلة الزمن، الحجم .. الخ.
كما أن هناك كميات أخرى ترتبط بالاتجاهات، فمثلاً شرطي المرور يهتم بمقدار سرعة سيارتك في الشارع وأتجاهها ايضاً ، لاحظ الشكل (2-5) وسوف يقلق قلقاً شديداً اذا كان اتجاه حركة سيارتك ليس صحيحاً. فالسرعة أذن لها أتجاه و مقدار .
ولوصف الحركة وصفاً تاماً يجب تحديد اتجاهها ومقدارها فنقول مثلاً أن مقدار السرعة هو (60) باتجاه الغرب وكذلك هناك كميات أخرى مثل القوة والتعجيل تسمى بالكميات المتجهة (vector quantities) فماذا يقصد بالكميات المتجهة؟
هي تلك الكميات التي يلزم لمعرفتها وتحديدها تحديداً تاماً معرفة كل من مقدارها واتجاهها مثل الازاحة والعزم ....... الخ .
ولكن كيف يمكننا أن تمثل الكميات المتجهة بيانياً؟ وذلك برسم المتجه على شكل سهم يتناسب طوله مع مقدار الكمية المتجهة وذلك باستعمال مقياس معين ويشير اتجاه السهم الى اتجاه الكمية المتجهة وتمثل نقطة الاصل وهي نقطة تأثير المتجه (نقطة البداية). فمثلاً سيارة قطعت إزاحة مقدارها (30) شرقاً فلنفترض مقياس رسم مناسب أن كل سنتمتر واحد بالرسم يمثل إزاحة مقدارها (10) يعني 10 = cm 1) وبذلك تمثل الازاحة بسهم ، فيكون طول السهم ( 3 ) بإتجاه الشرق ، لاحظ )6-2( الشكل
ويمكننا أن ترمز للمتجه باستعمال سهم فوق الحرف مثل المتجه ( A ) ، كما ويمكننا أن نكتب مقدار كمية المتجه | A | بالرمز ( A ) .
شكل 2-5 اشارة شرطي المرور
شكل 2-6 تمثيل المتجه بيانياً
فمتى يكون المتجهان (BA) متساويان؟
والجواب اذا كان لهما المقدار نفسه والاتجاه نفسه والوحدة نفسها أن وجدت، بغض النظر عن نقطة بداية كل منهما، لاحظ الشكل (2-7)
شكل 2-7 المتجهات (ABC ) متجهات متساوية
المتجهات (ABC) هي متجهات متساوية وتكتب بالصيغة التالية ( A - B- C) والتي يمكن تمثيلها بالاحداثيات المتعامدة X-Y
وأما بالنسبة لـ (سالب المتجه فأن سالب المتجه هو متجه مساو له في المقدار ومعاكس له بالاتجاه، لاحظ الشكل (2-8) أن سالب المتجه (A) يمثل بالمتجه ( - A) والمتجهان (A) و ( - A) أي أن المتجه وسالب المتجه يكونان متساويين بالمقدار ومتعاكسين في الاتجاه
شكل 2-8 يمثل سالب المتجه
vec A +(- vec A )=0
1-4-2 جمع المتجهات :
أن قواعد جمع المتجهات يمكن وصفها بسهولة باستعمال الطريقة الهندسية، أولاً ترسم المتجه (A) ثم ترسم المتجه (B) بحيث تبدأ نهايته من رأس المتجه (A) وتكون بينهما زاوية مقدارها (0) فيكون متجه هو متجه( R) (Resultant Vector) المحصلة مرسوم من نهاية المتجه (A) الى رأس المتجه (B) لاحظ الشكل (2-9).
شكل 2-9 متجهان A و B بينهما زاوية 0
عندما يكون المتجهان ( B و A ) متعامدين فالزاوية بينهما قائمة (90)، لذا تستعمل نظرية فيثاغورس لايجاد المتجه المحصل ( R ) الذي يمثل الوتر في المثلث، لاحظ الشكل (2-10)، وكما ياتي
شكل 2-10
يسير جسم (4m) باتجاه الشرق ثم غير اتجاهه وقطع (3m) شمالاً على أي بعد يكون الجسم من نقطة بداية حركته؟
الحل :
نفرض أن كل cm 1 بالرسم يمثل ازاحة مقدارها 1m فتكون ازاحة (4m) شرقاً تمثل بالمتجه ( A ) طوله (4cm) شرقاً وازاحة (3m) شمالاً تمثل بالمتجه (B) طوله ( 3cm ) شمالاً ويكون المتجهان (A) و (B) متعامدان بينهما زاوية مقدارها (90). وبتطبيق نظرية فيثاغورس تحصل على مقدار المتجه المحصل ( R )
طرح المتجهات :
اذا سرت (10m) شرقاً ثم غيرت مسارك (6m) غرباً فأنك تطرح ازاحة قدرها (6m) من ازاحة قدرها (10m) ويمكن أن تقول انك تجمع ازاحة قدرها (10m) شرقاً وازاحة قدرها (6m) غرباً فأن الازاحة المحصلة (4m) في اتجاه الشرق، لاحظ الشكل (2-11).
ان طرح متجه ما يكافيء جمع نفس المتجه مع عكس اتجاهه، ولذلك لطرح المتجه (B) من المتجه (A) نعكس اتجاه (B) ثم نجمعه مع (A) ، ويعبر هذا رياضيا كما يأتي :-
