حل المعادلة المثلثية: sin²(2θ) + cos²(θ) = 0 لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات
نسعد بكم في موقع "رواد العلم" حيث يعتبر منصة تعليمية عربية تهدف إلى تعزيز المعرفة وتطوير المهارات في مجالات متنوعة. يوفر الموقع محتوى تعليميًا شاملاً يتضمن مقالات، دروس، وموارد تعليمية في مجالات مثل العلوم، التكنولوجيا، الهندسة، والرياضيات.
حل المعادلة المثلثية: sin²(2θ) + cos²(θ) = 0 لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات
يتطلع الموقع إلى تقديم معلومات موثوقة ومفيدة، مما يساعد الطلاب والمعلمين والمهتمين في تعزيز فهمهم ورفع مستوى تعليمهم. كما يسعى إلى تشجيع التفكير النقدي والإبداع من خلال تقديم محتوى تفاعلي مفيد ومن ذلك طرح إجابة السؤال الآتي :
حل المعادلة المثلثية: sin²(2θ) + cos²(θ) = 0 لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات
الجـــواب هو :
نريد إيجاد جميع قيم الزاوية θ التي تحقق المعادلة المثلثية أعلاه، مع العلم أن قياس الزاوية θ بالدرجات.
الحل:
نبدأ بهوية فيثاغورس المثلثية الأساسية:
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
نلاحظ أن في معادلتنا الأصلية لدينا:
sin²(2θ) + cos²(θ) = 0
إذا طرحنا المعادلتين:
[sin²(2θ) + cos²(θ)] - [sin²(θ) + cos²(θ)] = 0 - 1
sin²(2θ) - sin²(θ) = -1
باستخدام هوية الفرق بين مربعين:
[sin(2θ) + sin(θ)][sin(2θ) - sin(θ)] = -1
لتحليل هذه المعادلة أكثر، نحتاج إلى استخدام هويات زوايا مضاعفة:
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
بالتعويض، نحصل على:
[2sin(θ)cos(θ) + sin(θ)][2sin(θ)cos(θ) - sin(θ)] = -1
أخذ عامل مشترك sin(θ):
sin(θ)[2cos(θ) + 1][2cos(θ) - 1] = -1
للحصول على حل، يجب أن يكون أحد العوامل يساوي صفرًا:
sin(θ) = 0:
θ = 0°, 180°, 360°, ...
2cos(θ) + 1 = 0:
cos(θ) = -1/2
θ = 120°, 240°
2cos(θ) - 1 = 0:
cos(θ) = 1/2
θ = 60°, 300°
الاستنتاج:
على الرغم من أننا وجدنا العديد من القيم لـ θ، إلا أن لا يوجد حل حقيقي لهذه المعادلة في الفترة من 0° إلى 360°.
السبب: عند تعويض أي من هذه القيم في المعادلة الأصلية، لن نحصل على مساواة.
السبب الرئيسي في عدم وجود حل هو أننا بدأنا بهوية فيثاغورس التي تنص على أن مجموع مربعي جيب وجتا أي زاوية يساوي واحدًا. وبالتالي، فإن المعادلة التي تساوي هذا المجموع بصفر لا يمكن أن تكون صحيحة لأي قيمة للزاوية.
الخلاصة :
المعادلة المثلثية sin²(2θ) + cos²(θ) = 0 ليس لها حلول حقيقية في الفترة من 0° إلى 360° أو لأي فترة أخرى.