اثبت صحة المتطابقة: 4cos²θ - sin²2θ = 4cos⁴θ
نسعد بكم في موقع "رواد العلم" حيث يعتبر منصة تعليمية عربية تهدف إلى تعزيز المعرفة وتطوير المهارات في مجالات متنوعة. يوفر الموقع محتوى تعليميًا شاملاً يتضمن مقالات، دروس، وموارد تعليمية في مجالات مثل العلوم، التكنولوجيا، الهندسة، والرياضيات.
اثبت صحة المتطابقة: 4cos²θ - sin²2θ = 4cos⁴θ
يتطلع الموقع إلى تقديم معلومات موثوقة ومفيدة، مما يساعد الطلاب والمعلمين والمهتمين في تعزيز فهمهم ورفع مستوى تعليمهم. كما يسعى إلى تشجيع التفكير النقدي والإبداع من خلال تقديم محتوى تفاعلي مفيد ومن ذلك طرح إجابة السؤال الآتي :
اثبت صحة المتطابقة: 4cos²θ - sin²2θ = 4cos⁴θ
الجـــواب هو :
إثبات المتطابقة: 4cos²θ - sin²2θ = 4cos⁴θ
الحل:
سنستخدم بعض الهويات المثلثية المعروفة لإثبات هذه المتطابقة.
المتطابقات التي سنستخدمها:
* sin 2θ = 2sinθcosθ
* cos²θ = (1 + cos2θ) / 2
الخطوات:
1. نبدأ بالجانب الأيسر من المعادلة:
4cos²θ - sin²2θ
2. نستبدل sin²2θ بـ 2sinθcosθ الكل تربيع:
4cos²θ - (2sinθcosθ)²
3. نبسط التعبير:
4cos²θ - 4sin²θcos²θ
4. نأخذ عامل مشترك 4cos²θ:
4cos²θ(1 - sin²θ)
5. نستخدم هوية cos²θ = 1 - sin²θ لنستبدل:
4cos²θ * cos²θ
6. وبالتالي نحصل على:
4cos⁴θ
النتيجة:
وصلنا إلى نفس التعبير في الجانب الأيمن من المعادلة.
إذن، تم إثبات المتطابقة:
4cos²θ - sin²2θ = 4cos⁴θ
الشرح بالكلمات:
بدأنا بتحويل sin²2θ إلى صورة أخرى باستخدام هوية الزاوية المزدوجة.
ثم بسطنا التعبير وأخذنا عامل مشترك.
استخدمنا هوية فيثاغورس المثلثية لتحويل 1 - sin²θ إلى cos²θ.
في النهاية، حصلنا على نفس التعبير في كلا الطرفين من المعادلة، مما يثبت صحة المتطابقة.